математика и шпионаж – фундаментальные науки

Эдгард Пиментель

Шифрование в правосудии

*

Работа математика аналогична работе детектива, шпиона или прокурора. В математике вы начинаете с нескольких подозрений, подсказок и немного интуиции. Через некоторое время приходит открытие и подтверждающие его доказательства. Но обратная сторона этого сравнения может быть весьма интересной: математика агентов под прикрытием, национальной безопасности и даже судов.

Секретные сообщения появились с тех пор, как люди начали общаться. И необходимость защиты его содержимого лежит в основе важной области математики – криптографии. Этот набор методов преследует две двойные цели: с одной стороны, разработать правила, позволяющие кодировать сообщения с полной безопасностью; с другой – найдите стратегии, позволяющие взломать эти коды.

Элементарный пример – так называемый шифр Цезаря, который римский историк Светоний описал следующим образом: записывается секретное сообщение, затем буквы A заменяются на D; От B до E; От C до F и так далее. Подставляем любую букву на ту, которая занимает три позиции вперед в алфавите. Но как насчет конца лирики? Что делать с X или Z? Просто: X будет заменен на A; Y будет заменен на B, а Z на C. Однако определение конца и начала списка очень часто используется в математике. Идея модульной арифметики, или конгруэнтности, придуманная Германом Гауссом, является формализацией этой идеи.

Шифр Цезаря – пример суррогатной криптографии. Один из способов усилить суррогатный шифр – использовать более одного алфавита (например, букв и цифр), так называемый полиалфавитный шифр. Хорошим примером является шифр Хилла, который связывает каждую букву с числом и использует линейную алгебру для создания сообщений, зашифрованных умножением матриц. Системы шифрования Enigma и Purple, которые Германия и Япония использовали во время Второй мировой войны, являются полиалфавитными.

Совсем недавно в эту область вошла чрезвычайно сложная математика. Оказалось, что предметом, способным хранить секреты, является дискретный логарифм (без шуток!). Дискретный логарифм может быть определен на любой группе. И вычислить его в некоторых группах может быть очень сложно. Таким образом, сложнее взломать код, ключ которого зависит от разрешения дискретных логарифмов на этих группах. Здесь играют роль очень (очень!) Большие и изогнутые простые числа, напоминающие береговую линию Копакабаны.

Расшифровывать секретные сообщения – значит открывать истину, и это упражнение также очевидно в судах. Признание доказательств ДНК связано с теорией вероятности. Тринадцать пар генов, используемых для идентификации, настолько различаются, что вероятность того, что у двух разных людей одни и те же пары, составляет менее 1 из 400 триллионов. Статистический анализ фрагментов некоторых снарядов был использован, чтобы попытаться ответить, был ли второй стрелок в Далласе в эту пятницу ноября 1963 года.

Но использование математики в судах неоднозначно. В статье, опубликованной в «Harvard Law Review», Лоуренс Трайб, почетный профессор конституционного права в этом университете, относится к этому вопросу с осторожностью. Проблема? Использование математики как надежной монеты может привести к ошибкам в системе правосудия.

В конце XIX века французского солдата Альфреда Дрейфуса обвинили в предоставлении секретной информации немецкой армии. Статистический анализ его написания в служебной записке докажет его вину. В 1904 году математики Дарбу, Аппель и Пуанкаре вышли на поле и пересмотрели статистический анализ этого написания. Эти известные деятели пришли к выводу, что анализ был дилетантским и возник в результате злоупотребления вероятностью. И я ошибался.

Но идея этого трио гораздо глубже: чтобы быть действительно полезным и улучшать жизнь людей даже в секретных измерениях, математика должна выполняться (и использоваться) с соблюдением правил приличия.

*

Эдгард Пиментель – математик и профессор PUC-Rio.

Подпишитесь на информационный бюллетень Serrapilheira, чтобы следить за другими новостями института и блога Ciência Fundamental. У вас есть предложенная повестка дня? Вот как сотрудничать.

Back to top button