Открытие, которым Гаусс гордился больше всего – 27.07.2021 – Марсело Виана

С помощью циркуля нарисуйте на бумаге круг. Затем, не меняя открытия циркуля, нарисуйте еще один круг с центром где-нибудь в первом. Наконец, с помощью линейки соедините центры двух окружностей с одной из точек пересечения. Полученная таким образом фигура представляет собой равносторонний треугольник, то есть все стороны которого имеют одинаковую длину.

Древние греки умели строить правильные многоугольники с 3, 4, 5 и 15 сторонами, используя только линейку и циркуль. Они также знали, как перейти от любого правильного многоугольника к многоугольнику с двумя сторонами. Таким образом, они смогли построить правильный шестиугольник (6 сторон) из равностороннего треугольника. Можно ли построить все правильные многоугольники с любым числом сторон N с помощью линейки и циркуля?

Ответ – нет, но это стало понятно только в 18 веке, когда было доказано, что правильные многоугольники с 7 и 13 сторонами не могут быть построены таким образом. Итак, каковы конструктивные значения N, т.е. такие, что правильный многоугольник с N сторонами можно построить с помощью линейки и циркуля?

Проблема привлекла внимание не кого иного, как великого Карла Фридриха Гаусса. В 1796 году он показал, как построить правильный семиугольник (17 сторон) с помощью линейки и циркуля. Это было открытие, которым Гаусс гордился больше всего.

В своей великой работе «Disquisitiones Arithmeticae» он пошел дальше, заключив, что для построения правильного многоугольника достаточно, чтобы количество сторон N было произведением степени 2 на различные простые числа Ферма. Он также сказал, что этого условия будет достаточно, но это не было доказано французом Пьером Ванцелем до 1837 года.

Пьер де Ферма вычислил числа формы от 1 плюс 2 до 2n для n значений от 0 до 4, нашел их простыми числами и обнаружил, что это верно для всех n значений. Но несколько лет спустя Леонард Эйлер указал, что число Ферма с n = 5 не является простым числом и, по иронии судьбы, на сегодняшний день никто не нашел, кроме исходных пяти, которые он открыл.

Таким образом, поскольку существует 31 различное произведение простых чисел Ферма, теорема Гаусса-Вантцеля дает 31 конструктивное нечетное число N, и это лучший результат, известный на сегодняшний день.

НАСТОЯЩАЯ ССЫЛКА: Вам понравилась эта колонка? Подписчик может выпускать пять бесплатных просмотров по любой ссылке в день. Просто нажмите на синюю букву F.

Back to top button