Сколько камней на берегу Копакабаны? – фундаментальная наука

Эдгард Пиментель

Может быть, это то, на что Драммонд, сидя у форта, пытается ответить

*

Пляж Копакабана стал частью истории математики: именно здесь Стивен Смейл увидел совершенно особенную подкову. Здесь же вдалеке теряется взгляд Карлоса Драммонда де Андраде, сидящего возле форта. Располагая всем доступным в мире временем, попытался бы он дать количественную оценку стиху и, в конце концов, ответить, сколько камней на пути?

Набережная Копакабаны протянулась на 4 километра, покрытая узором из белых и черных камней, который в итоге стал визитной карточкой города. Сколько камней на набережной Копакабана? Как посчитать количество камней на этом берегу?

Первая стратегия решения проблемы – считать по одному. Но его недостатки очевидны: температура может быть не самой приятной и всегда есть риск отвлечься на красоту окрестностей. Не говоря уже о том, что это требует терпения Иова.

Попробуем другой способ. Допустим, ширина набережной 4 метра. Предположим, он имеет форму прямоугольника. Таким образом, его площадь составит 16 тысяч квадратных метров. Поскольку на променаде с каждой стороны расположено по 16 тысяч квадратных метров, остановимся на одном из них. Для простоты назовем эти маленькие единичные квадраты.

Идея проста: если мы знаем, сколько камней находится в единичном квадрате, нам просто нужно умножить ответ на 16 тысяч, и мы будем иметь оценку для всей прогулки. Здесь упражнение сводится к подсчету количества камней на (гораздо) меньшей площади.

Сделаем смету, не выходя из дома. Предположим, каждый камень идеально квадратный, со стороной 5 см. Таким образом, в каждом квадрате будет 400 единиц. А на всю прогулку было бы что-то вроде 6,4 миллиона камушков. Но есть одна важная деталь: счет работает только в том случае, если все камни имеют одинаковую форму и одинаковые размеры. Возможно, очень сильная гипотеза.

Альтернативой является присвоение вероятностей форм и размеров камней. Один квадратный метр равен 10 000 квадратных сантиметров. Идея состоит в том, чтобы засыпать 10 000 квадратных сантиметров камнями 25, 16 и 9 квадратных сантиметров и «упором». Предположим, 20% камней имеют размер 25 квадратных сантиметров, 40% из них – 16 квадратных сантиметров, а 20% – 9 квадратных сантиметров.

Для этого сценария требуется 80 камней размером 25 квадратных сантиметров (чтобы покрыть 2 тысячи из 10 тысяч квадратных сантиметров), 250 камней размером 16 квадратных сантиметров и 222 камня площадью 9 квадратных сантиметров. Всего уже 552 камня, и осталось покрыть еще 2 тысячи квадратных сантиметров. Эти две тысячи квадратных сантиметров нашего незнания засыпаны камнями разного размера, да и затиркой между ними (как ни хорош мастер тротуарной плитки, там всегда что-то есть). Допустим, здесь все еще 150 камней, в результате чего общее количество камней составляет 702. Общее количество для прогулки теперь составляет 11 миллионов 232 тысячи камней!

Варьирование появления каждой формы камня приведет к разным результатам. Но любое событие, предполагаемое априори, может привести к гигантским ошибкам. В конце концов, мы умножаем то, чего не знаем, на числа вроде 16000!

Попробуем что-нибудь эмпирическое – пойдем на улицу! Гуляя по берегу, мы можем остановиться, выделить 1 квадратный метр и посчитать количество камней в нем. Через 500 метров повторяем эксперимент. В конце прогулки у нас будет восемь образцов. Мы можем вычислить среднее значение и умножить его на 16 тысяч. По моим подсчетам, у нас будет 8 миллионов 128 тысяч камней. Опять же, есть проблемы: если недавний ремонт изменил конфигурацию тротуара, данные могут привести к ошибкам.

Другая стратегия – иметь компьютер под рукой и заручиться помощью искусственного интеллекта. Планируется научить счетчик камней по фотографии с высоким разрешением. Мы с дроном пролетели над набережной и сделали несколько снимков. Кормим компьютер такими изображениями и спрашиваем, сколько там камней. Конечно, смещенная тень или птица могут искажать анализ. И вычислительные затраты могут быть очень высокими. Но это может быть неплохой идеей.

Однозначный ответ кажется невозможным. А может быть безответственным. Но думать о такой проблеме – все равно что ходить по берегу: где бы вы ни оказались, главное – это путь.

*

Эдгард Пиментель – математик и профессор PUC-Rio.

Мы знаем, что дети задают самые лучшие вопросы и что наука может дать им правильные ответы. Каждый месяц серия «Вопросы для детей, ответы на вопросы науки» предлагает ученым ответить на один из этих фундаментальных вопросов. У вас есть предложение по вопросу или повестка дня для блога? Узнайте, как сотрудничать здесь.

Back to top button